Galois moduli und modulare Heckealgebren

Ziel des Projektes HEGAL ist es, Fortschritte in zwei wichtigen aktuellen Forschungsprogrammen der arithmetischen Geometrie zu erzielen: Im spekulativen mod p-Langlandsprogramm zum einen, in der Arbeit an der verallgemeinerten Serre’schen Modularit?tsvermutung zum anderen. Das mod p-Langlandsprogramm sollte eine Beziehung zwischen mod p-Darstellungen der absoluten Galoisgruppe Gal(F /F ) eines p-adischen Zahlk?rpers F zum einen, und mod p-Darstellungen p-adisch reduktiver Gruppen (wie GLn(F )) zum anderen aufzeigen. Eine solche Beziehung wurde in einem wichtigen ersten Fall von Colmez, Dospinescu,Paskunas und anderen etabliert: Zwischen zweidimensionalen Gal(Qp/Qp)-Darstellungen zum einen, und Darstellungen von GL2(Qp) zum anderen. Die Serre’sche Modularit?tsvermutung in ihrer ursprünglichen Form fragt nach den zweidimensionalen Darstellungen von Gal(Q/Q), die kuspidalen Heckeeigenformen zugeordnet sind und sagt die minimalen Gewichte und Stufen solcher Eigenformen voraus. Inzwischen liegen Verallgemeinerungen dieser Vermutung für beliebige algebraische Zahlk?rper und reduktive Gruppen vor. Ein wichtiges Objekt in beiden genannten Forschungsrichtungen ist ein gewisser Modulraum (Stack) für p-adische Galoisdarstellungen, wie er von Gee und Emerton konstruiert wurde. Seine lokale Geometrie ist im Moment kaum verstanden. In dieser Richtung Fortschritte zu machen, ist das konkrete Ziel von HEGAL. Ein wichtiges neuartiges Instrument dafür werden diverse modulare Hecke Algebren (Iwahori-Hecke; derivierte Versionen) sein. Anwendungen der zu erarbeitenden Techniken sind auch für andere Zweige der Zahlentheorie zu erwarten: Iwasawa Theorie, Shimura Variet?ten, automorphe Formen und andere.