Humboldt-Universit?t zu Berlin

Zusammenfassung

Bei der mathematischen Modellierung vieler physikalischer Vorg?nge ergeben sich partielle Differentialgleichungen. So werden etwa Str?mungen von Newtonschen Flüssigkeiten durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben, Temperaturverteilungen in Medien genügen der W?rmeleitungsgleichung und im Elektromagnetismus existieren die berühmten Maxwell-Gleichungen. Für verschiedenste Anwendungen, von der Fertigung von Flugzeugteilen bis zur Modellierung von Biomaterialien, sind L?sungen solcher Gleichungen interessant. Doch diese lassen sich nur in Spezialf?llen auch theoretisch berechnen.

Zur n?herungsweisen L?sung existieren verschiedene numerische Verfahren, unter ihnen die Finite-Elemente-Methoden (FEM), die auf einer Approximation des Gebietes durch beispielsweise Dreiecks- oder Tetraedernetzen beruhen. Je feiner ein solches Netz ist, desto genauer entspricht die angen?herte der exakten L?sung. Wird die Netzweite überall unendlich klein, konvergieren die approximativen L?sungen gegen die exakte. Jedoch erfordert die numerische Berechnung solcher L?sungen auf immer feineren Netzen eine immer h?here Rechenleistung und Laufzeit. Adaptive Algorithmen schaffen hierfür Abhilfe, indem sukzessive nur diejenigen Bereiche des Netzes verfeinert werden, an denen der Fehler mittels eines Fehlersch?tzers am gr??ten gesch?tzt wird, um eine optimale Balance zwischen Rechenkosten und Genauigkeit zu erreichen.

Meine Dissertation “Adaptive Discontinuous Petrov-Galerkin Finite-Element-Methods” betrachtet adaptive Algorithmen einer speziellen Klasse von Finite-Elemente-Methoden, der Klasse der diskontinuierlichen Petrov-Galerkin-Finite-Elemente-Methoden (dPG-FEM). Diese bilden eine neue Klasse von Finite-Elemente-Methoden, die sich durch vergleichsweise leichte Konstruktion der diskreten R?ume auszeichnet. Weitere Vorteile dieser Methoden, etwa ein sehr flexibles Netzdesign, erh?hte Stabilit?tseigenschaften und ein eingebauter Fehlersch?tzer führten in den letzten Jahren zu lebhafter Forschungsaktivit?t in Mathematik und Ingenieurswesen. Die Relevanz der so bereits entstandenen Anwendungen macht die Analyse adaptiver dPG-Methoden unabdingbar. Denn w?hrend eine Vielzahl der Publikationen über dPG-Methoden numerische Experimente mit adaptiven Algorithmen beinhaltet, ist meine Arbeit die erste, die deren Konvergenz theoretisch beweist.

Der Kernpunkt meiner Arbeit sind dabei Herleitung ?quivalenter Formulierungen vierer dPG-Methoden und darauf aufbauend die Konstruktion alternativer Fehlersch?tzer, die die Methoden für Beweise im Rahmen der Axiome der Adaptivit?t (nach Carstensen, Feischl, Page, Praetorius 2014) zug?nglich machen. In diesem Framework beweist meine Arbeit nicht nur die Konvergenz der adaptiven dPG-Methoden, sondern sogar die Konvergenz mit optimalen Raten. Das bedeutet vereinfacht, dass die durch den adaptiven Algorithmus erzeugten Netze das optimale Verh?ltnis von Genauigkeit der L?sung und der Anzahl der ben?tigten Rechenschritten erfüllen.