Humboldt-Universit?t zu Berlin

On Inaudible Properties of Broken Drums - Isospectral Domains with Mixed Boundary Conditions

Die sehr anschaulich dargestellte Arbeit aus der Reinen Mathematik befasst sich mit der ?bersetzung des Ph?nomens: Kann man kaputte Trommeln h?ren deren Fell nur teilweise am Rand befestigt ist?

Diese ?bersetzung des Problems mit der Transplantationsmethode in die Reine Mathematik, die Graphentheorie erm?glichte den Einsatz eines eigens entwickelten Computerprogramms zur systematischen Suche nach neuen transplantablen Paaren, d.h. nach noch unbekannten Paaren gleichklingender Instrumente. U.a. stellte sich dabei heraus, dass man bei kaputten Trommeln nicht h?ren kann, welcher Teil des Fells abgerissen ist.

Zusammenfassung

Kann man die Form einer Trommel h?ren? - Diese Frage leitete Mitte der Sechziger Jahre die Entwicklung der so genannten Spektralgeometrie ein. Dieser Teilbereich der Reinen Mathematik hat vielf?ltige Anwendungen über die klassische Akustik hinaus und ist beispielsweise eng mit der Quantentheorie verbunden. Das Modell der Trommel dient nur als eine m?gliche Veranschaulichung der mathematisch interessanten Eigenwertprobleme. In den wenigsten F?llen kann man deren L?sungen exakt angeben. Vielmehr sind Wissenschaftler in der Regel gezwungen, mit Hilfe des Computers approximative L?sungen zu berechnen oder sich auf qualitative Aussagen zu beschr?nken. Dennoch kann man beweisen, dass die Tonh?hen, die eine Trommel produziert, beispielsweise ihre Fl?che und ihren Umfang eindeutig festlegen, d.h. diese Eigenschaften sind h?rbar. Nach über 25 Jahren intensiver Forschung wurden schlie?lich zwei verschieden aussehende aber theoretisch gleichklingende Trommeln konstruiert. Auf elegante Art umging die dabei verwendete Transplantationsmethode die Berechnung der exakten L?sungen, d.h. der tats?chlich auftretenden Schwingungen. Wenige Jahre sp?ter wurde die theoretisch ermittelte ?bereinstimmung der Spektren in einem Versuch mit Mikrowellenstrahlung experimentell verifiziert.

In dieser Diplomarbeit wurde die Transplantationsmethode auf kaputte Trommeln angewendet, d.h. auf Trommeln, deren Fell nur teilweise am Rand befestigt ist. Die entsprechenden Eigenwertprobleme mit gemischten Randbedingungen treten unter anderem auch in der Stringtheorie auf. Darüberhinaus wurden im Rahmen dieser Arbeit verschiedene Methoden entwickelt, mit denen sich neue transplantable Paare aus bekannten gewinnen lassen. Diese Methoden lassen sich insbesondere auf die derzeit intensiv untersuchten Quantengraphen anwenden. Quantengraphen sind eindimensionale Systeme, die als Modelle in der Physik, in der Chemie und in den Ingenieurswissenschaften - z.B. im Bereich der Nanotechnologie und Mikroelektronik - eingesetzt werden.

Kernstück der Diplomarbeit ist die Beschreibung der Transplantationsmethode durch spezielle Graphen. Diese ?bersetzung des Problems in die Graphentheorie erm?glichte den Einsatz eines eigens entwickelten Computerprogramms zur systematischen Suche nach neuen transplantablen Paaren, d.h. nach noch unbekannten Paaren gleichklingender Instrumente. Unter anderem stellte sich heraus, dass eine einzige Trommel genauso klingen kann wie zwei kleinere Trommeln mit gebogenen R?ndern zusammen, d.h. man kann die Anzahl an Instrumenten nicht h?ren. Au?erdem zeigte sich, dass man bei kaputten Trommeln nicht h?ren kann, welcher Teil des Fells abgerissen ist. Schlie?lich kann man bei Trommeln mit beliebigen R?ndern nicht einmal h?ren, ob eine Trommel überhaupt kaputt ist.