Flexible Regressionsmethoden für Kurven und Formen

Flexible Regressionsmethoden für Kurven und Formen

Mit modernen bildgebenden Verfahren und Messger?ten erheben Forscher in verschiedensten Gebieten mehr und mehr Daten, bei denen jede Beobachtung einer zwei- oder h?herdimensionalen Kurve entspricht. Beispiele sind Bewegungsmuster und Knochenumrisse. In manchen F?llen k?nnen diese als multivariate funktionale Daten aufgefasst werden. In anderen ist prim?r die funktionale Form von Interesse, d.h. die ?quivalenzklasse der Kurve bezüglich der Invarianz gegenüber Translation, Rotation, Skalierung und Reparametrisierung entlang der Kurve. Diese induziert eine nicht-Euklidische Geometrie auf den resultierenden Quotientenr?umen ("Shape Spaces").

Ziel des Projektes ist es, das Gebiet der funktionalen Formen-Analyse sowohl theoretisch als auch hinsichtlich praktisch nutzbarer Methoden für reale Datenszenarien voranzubringen. Insbesondere wird ein allgemeines und flexibles Framework zur Regression für Kurven und Formen in zwei oder potentiell mehr Dimensionen entwickelt und implementiert. Schrittweise verallgemeinernd von additiven Modellen für funktionale Daten zu solchen für multivariate funktionale Daten und für funktionale Form-Daten wird dieses Framework deutlich erweiterte Flexibilit?t hinsichtlich der folgenden Gesichtspunkte bieten: es wird die Modellierung von Kurven- und Formen-Zielgr??en Modulo Reparametrisierung erlauben; verschiedene Kombinationen von Invarianzen bezüglich Reparametrisierung, Translation, Rotation und/oder Skalierung intrinsisch und modular je nach den Anforderungen in einer gegebenen Datensituation berücksichtigen; unregelm??ig oder sp?rlich beobachtete Kurven oder Formen sowie Formen-Ensembles erlauben; und verschiedene additive Kovariablen-Effektarten einschlie?lich linearer, nichtlinearer und zuf?lliger Effekte einschlie?en. Zus?tzlich werden wir geeignete Effekte für Skalar-auf-Kurven- oder -Formen-Regression entwickeln.

Das Framework beruht auf interpretierbaren linearen und additiven Pr?diktoren und genügt gleichzeitig der intrinsischen Geometrie der R?ume, die sich aus den jeweiligen Invarianzen ergeben. Alle entwickelten Methoden werden in der Open-Source Software R implementiert und in Kollaborationsprojekten angewandt. Insgesamt wird das entwickelte Framework damit die Verfügbarkeit und Flexibilit?t von Regressionsmodellen für die Kurven- und Formen-Analyse deutlich erweitern.